Machine learning

 

Integrales primeras sin factores integrantes ni simetrías

Mi último trabajo, First integrals without integrating factors or symmetries, acaba de ser publicado con Springer Nature en Qualitative Theory of Dynamical Systems. Se puede leer aquí.

 

Encontrar cantidades conservadas, es decir, integrales primeras, es una de las técnicas clave para comprender una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Esto siempre ha requerido o bien descubrir una simetría de la ecuación (al estilo de la teoría de Lie), o bien hallar un factor integrante. Ambos enfoques son potentes, aunque tienen sus dificultades: la detección de simetrías puede fallar, y resolver las ecuaciones en derivadas parciales para los factores integrantes suele ser imposible en la práctica.

En este artículo propongo una ruta distinta: un método geométrico basado en la integrabilidad del sistema de Pfaff naturalmente asociado a una EDO. Formulamos el problema en el lenguaje de los fibrados de jets y las formas de contacto, evitando tanto las simetrías como los factores integrantes. En su lugar, convertimos la búsqueda de una integral primera en la resolución de un sistema de EDPs derivado del teorema de Frobenius.

Lo que hace interesante a este enfoque no es que sea “más fácil” (de hecho, puede ser más difícil computacionalmente), sino que funciona en situaciones donde las técnicas clásicas pueden fallar. El artículo lo demuestra en EDOs de segundo, tercer y cuarto orden, incluyendo ecuaciones sin simetrías de Lie.

El resultado es una herramienta complementaria para las EDOs rebeldes. Su naturaleza algorítmica lo convierte en un candidato natural para implementaciones en álgebra computacional (Maple, Mathematica), donde la prueba sistemática de ansätze podría ampliar aún más sus posibilidades de éxito.

Visualizar funciones holomorfas

 He realizado una pequeña visualización aquí, para visualizar cómo la noción de holomorfía determina el comportamiento local de una función del plano en el plano. Se observa cómo las funciones holomorfas se comportan, vistas desde cerca (localmente) como multiplicar por un número complejo. Es decir, los cuadraditos se convierten en "nuevos cuadraditos" a los que se les ha aplicado una pequeña rotación y un pequeño cambio de escala. 

 

 

Las no holomorfas estiran el cuadradito, o bien lo aplastan, o bien le invierten su orientación (estas son las funciones antiholomorfas, como el conjugado).

Puede ocurrir que, aparentemente, el cuadrado no parezca haberse convertido en un cuadrado, aun siendo la función elegida holomorfa. Pero basta con afinar la cuadrícula: recordemos que estamos hablando de un comportamiento local. 

 

Mejorar el rendimiento en Matemáticas

Imagen hecha con ChatGPT

Se habla mucho de los malos resultados en Matemáticas que obtiene reiteradamente nuestro país en las distintas pruebas de evaluación internacionales. Ante tanto "rasgado de vestiduras" y tanta "digresión política", mi subconsciente ha empezado a bombardearme constantemente con la pregunta: "¿qué harías tú para mejorar el nivel del alumnado en Matemáticas? Normalmente no me gusta meterme en estas diatribas, pero voy a poner esto por escrito para acallar esa mosca puñetera (mi subconsciente) y que me deje en paz.  
Creo que son medidas muy sencillas, de sentido común, y fáciles de implementar (y baratas, que la gasolina está muy cara y hay que ahorrar). 

Las siguientes ideas pueden entenderse como una especie de Pirámide de Maslow, es decir, están ordenadas según el impacto que tendrían como resultado.  
1. Que los maestros de primaria sean especialistas. No parece de sentido común el permitir que los encargados de introducir a nuestros pequeños en el precioso mundo de las matemáticas sean, en su mayoría, personas que han huido de ellas de manera temprana. Como profesor de secundaria observo que la gran mayoría de los estudiantes de magisterio provienen de algún bachillerato "de letras puras". Pienso que esta titulación debería estar separada en dos especialidades: ciencias y letras. Y para acceder a cada una de ellas se debería haber cursado el bachillerato correspondiente. Ojo, no digo que no haya buenos maestros actualmente que, habiendo estudiado un bachillerato de letras, se hayan esforzado y hayan aprendido a disfrutar de la disciplina y de su enseñanza. Pero las probabilidades de la situación contraria (maestros provenientes de letras que, cuando tienen que impartir matemáticas tiendan, casi inconscientemente, a pasar de puntillas) son muy altas, y multiplicado por la cantidad de maestros que hay en la totalidad del territorio nacional da como resultado millones de alumnos y alumnas que no están siendo correctamente atendidos matemáticamente.  
Además, en el pensamiento colectivo está instaurada la falacia de pensar que las matemáticas de primaria son fáciles, cuando es todo lo contrario: son las más difíciles de enseñar. Hay que conocer bastante bien la disciplina para saber a dónde va dirigido todo el proceso de enseñanza de las matemáticas, y que no se pierda tiempo en absurdeces como que un niño de 10 años sepa escribir con letras el número "cuatrocientos veintitrés millones doscientos dieciocho mil novecientos treinta y cuatro", y que sin embargo no tenga cálculo mental para estimar aproximadamente cuánto es 253 más 148.  
Por supuesto, deberían existir oposiciones específicas para las especialidades de magisterio de ciencias y de letras, y un sistema de convalidaciones entre ambas especialidades. De esta manera no se cierran puertas a la persona que encuentre su vocación tardía.  

2. Criterios claros. Es esta precisamente la principal carencia que tienen todos los currículos educativos que he tenido el gusto de experimentar. No queda, en absoluto, claro ni lo que el docente tiene que enseñar ni lo que el alumno tiene que aprender.  
Un ejemplo de lo que dice la ley que tiene que saber un alumno de segundo ciclo de primaria:  
"Criterio 5.1 Realizar conexiones entre los diferentes elementos matemáticos, aplicando conocimientos y experiencias propios."  
Permítaseme ser el niño de la fábula del El nuevo traje del emperador: yo no lo entiendo. Es decir, entiendo gramaticalmente esa frase, pero no entiendo que este tipo de criterios sean los ladrillos básicos para medir el aprendizaje del alumnado. Yo propongo algo mucho más sobrio, mucho más minimalista, mucho menos sofisticado:  
Criterio 1. Saber sumar de manera exacta en papel  
Criterio 2. Saber restar de manera exacta en papel  
Criterio 3. Saber estimar sumas mentalmente.  
Criterio 4. Saber resolver problemas sencillos.  
Criterio 4. ...  
Creo que se pilla la idea. Y esto acompañado de ejercicios tipo, que sirvan de inspiración al docente y que permitan ajustar la dificultad. Los profesores de 2º de Bachillerato tenemos la suerte de contar con exámenes de selectividad de años anteriores, que te permiten tener muy claro qué tienes que enseñar y con qué nivel de dificultad. Pues algo similar debería haber para cada curso.  
 
3. Repetición del alumnado. Se ha estigmatizado la repetición. En teoría, no se quiere perjudicar a ese alumno introvertido, con problemas de integración, y que si repite se verá "solo" o desajustado emocionalmente por tratar con compañeros de menor edad. Se me ocurren dos contraargumentos:  
a. Puede que esto ocurra en algunos casos, pero he visto cómo algunos alumnos han mejorado tras repetir un curso, pues igual que no todos damos el estirón físico al mismo tiempo, no todos damos el estirón intelectual con la misma edad.  
b. Por beneficiar a ese hipotético alumnado, las trabas que tenemos los profesores para hacer repetir a alguien han terminado por perjudicar al 95% restante del alumnado. El espíritu humano es perezoso por naturaleza (evolutivamente ha sido una ventaja el ahorrar energía). Y a falta de una penalización clara por la vagancia (por ejemplo repetir curso), el alumnado tiene la tendencia a esforzarse menos. Ante una bajada global de esfuerzo, el profesor no puede menos que bajar su nivel de expectación, lo cual se traduce en un menor nivel educativo.

4. Pruebas externas. Los exámenes de selectividad condicionan el curso de 2º de Bachillerato. Eso puede ser bueno y malo, no voy a entrar a debatir eso pues sería tema para otro artículo. Pero lo cierto es que la presencia de esta prueba externa asegura un mínimo de calidad en la formación. Alumnado y profesorado rinden, en general, a más nivel, y están "unidos contra un enemigo común". Implementar pruebas externas en cursos previos sería muy interesante.

 

En definitiva, mejorar el nivel en Matemáticas no requiere soluciones grandilocuentes, sino medidas concretas, críticas y de sentido común: maestros mejor formados, criterios claros y operativos, consecuencias educativas reales como la repetición, y mecanismos externos que aseguren estándares mínimos. Si se quiere cambiar el resultado, hay que atreverse a cambiar el proceso.

Al profesor que fue mi Maestro

Hay pocas cosas que pueda decir con total seguridad. Y una de ellas es que Paco Grau fue el mejor profesor que he tenido. Cuando me han preguntado cuál creo que es la asignatura más importante, siempre he dicho que Filosofía. En ninguna otra materia aprendí tanto, ninguna otra formación me sirvió más para ser "una persona". Pero con el tiempo estoy terminando por darme cuenta de que, quizás, no era por la asignatura, sino por el profesor que la impartió. 

Paco Grau, con tres sesiones semanales durante dos años, se convirtió en una de las personas que más ha influido en mi personalidad. Me enseñó a leer a los clásicos, sin miedo, sin complejos, tratándolos de tú a tú. Me abrió los ojos a ese mundo infinito, ese jardín de El País de las Maravillas de Alicia, que es el Conocimiento Humano. De hecho aún no he salido de él. En mi cabeza resuenan todavía, casi a diario, todo lo que aprendí de Platón, de Descartes, de Wittgenstein, de Nietzsche. Personas que intentaron buscar respuesta a preguntas que aún no se han resuelto, y cuyo planteamiento es lo que nos hace humanos. No creo que haya un día de mi vida en el que no haya usado algo de lo que aprendí de ellos.
 

El trabajo de profesor algunas veces es el mejor que se puede tener, pero la mayoría de las veces es muy ingrato. Tienes que estar, constantemente, imaginándote, convenciéndote, suponiendo, en la oscuridad, que lo que estás haciendo está bien, que sirve para algo. Aunque muchas veces tengas que enfrentarte a alumnos, a padres, incluso a algunos compañeros o inspectores. Pero hay otras (pocas) veces en las que ves una pequeña luz en el horizonte que te da la razón, que te dice que estuvo bien lo que hiciste, que tuvo sentido, que fue para algo. Espero que estas palabras sean, para él, una de esas veces.

P.D.: Él fue, por supuesto, el que me enseñó la frase de Platón ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ ("que no entre nadie que no sepa geometría"), que modifiqué para el título de este blog (como cuento aquí).